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Los 7 problemas matemáticos del milenio sin resolver

Mika Avagyan
Profesor de Matemáticas

«Desde tiempos inmemoriales, los matemáticos han estado tras la pista de resolver enigmas que desafían las leyes lógicas y numéricas. La matemática, esa asignatura que nos apasiona y a veces nos frustra, tiene secretos que aún están por descubrirse. ¿Sabías que aún existen problemas que han estado en la mira de los matemáticos por siglos y que, hasta ahora, no han encontrado solución? En este artículo, nos aventuraremos en el fascinante mundo de los 7 problemas matemáticos sin resolver que siguen dando de qué hablar en la comunidad científica. ¡Vamos allá!»

Mika Avagyan
Profesor de Matemáticas

«Desde tiempos inmemoriales, los matemáticos han estado tras la pista de resolver enigmas que desafían las leyes lógicas y numéricas. La matemática, esa asignatura que nos apasiona y a veces nos frustra, tiene secretos que aún están por descubrirse. ¿Sabías que aún existen problemas que han estado en la mira de los matemáticos por siglos y que, hasta ahora, no han encontrado solución? En este artículo, nos aventuraremos en el fascinante mundo de los 7 problemas matemáticos sin resolver que siguen dando de qué hablar en la comunidad científica. ¡Vamos allá!»

La historia de los problemas matemáticos sin resolver es casi tan antigua como la matemática misma. Estos problemas han sido formulados por mentes brillantes que desafiaron las normas de su tiempo, estableciendo las bases de teorías que aún hoy son objeto de estudio. Resolver estos enigmas no solo significa un logro académico; es abrir puertas a nuevas formas de entender el universo y nuestras propias capacidades intelectuales.

¿Qué son los Problemas Matemáticos del milenio?

Los 7 problemas matemáticos del milenio son problemas sin resolver que fueron presentados por el Instituto Clay de Matemáticas en el año 2000. Cada uno de estos problemas tiene un premio de un millón de dólares para quien consiga resolverlo.

El Instituto Clay de Matemáticas, una entidad privada con sede en Peterborough, New Hampshire, Estados Unidos, presentó los siete problemas matemáticos del milenio el 24 de mayo de 2000 durante un evento en París. El instituto fue fundado por Landon T. Clay, un empresario y filántropo interesado en el avance de las matemáticas y la ciencia.

El propósito de identificar y publicitar estos problemas específicos era, en parte, dar dirección y enfoque a la comunidad matemática global, señalando áreas donde se creía que los avances podrían tener un impacto significativo. Además, el instituto buscaba promover el desarrollo de las matemáticas y atraer a más personas al campo.

Para cada uno de estos problemas, el Instituto Clay ha prometido un premio de un millón de dólares (USD) a la persona o grupo que pueda proporcionar una solución correcta. Esto incluye tanto la presentación de una demostración de una conjetura como la presentación de un contraejemplo que refute una conjetura. Las soluciones presentadas deben ser publicadas en una revista matemática reconocida y deben ser aceptadas por la comunidad matemática antes de que se otorgue el premio.

Hasta la fecha, solo la Conjetura de Poincaré ha sido resuelta, por Grigori Perelman, quien declinó aceptar tanto el premio en metálico como la Medalla Fields, uno de los más altos honores en matemáticas.

¿Cuáles son los 7 problemas matemáticos del milenio?

  1. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
  2. Conjetura de Hodge
  3. Conjetura de Poincaré (Resuelto)
  4. Problema de Yang-Mills y el Gap de Masa
  5. Problema de Navier-Stokes Existencia y Suavidad
  6. Hipótesis de Riemann
  7. P versus NP

Resumen de los 7 problemas y su estado actual

1. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Esta conjetura, formulada por Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer pertenece al campo de la teoría de números, una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en especial los números enteros y los números racionales.

La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se refiere específicamente a ciertas curvas algebraicas llamadas «curvas elípticas». Una curva elíptica es una curva definida por una ecuación de la forma:

y^2=x^3+ax+b

 

El «grupo de puntos» de una curva elíptica sobre los números racionales (es decir, el conjunto de soluciones (x, y) a la ecuación anterior con x e y siendo números racionales, junto con un punto en el infinito) tiene una estructura algebraica muy interesante.

La conjetura establece una relación profunda entre dos aspectos de las curvas elípticas:

  • La Cantidad de Soluciones Racionales. La naturaleza (finita o infinita) del conjunto de soluciones racionales de la ecuación de la curva elíptica.
  • La Orden del Grupo de Tate-Shafarevich, que está relacionado con ciertas propiedades cohomológicas de la curva elíptica, específicamente el orden del grupo de Tate-Shafarevich, que es un objeto que mide de alguna manera las «obstrucciones» a tener una descripción explícita de todas las soluciones racionales.

De una manera más precisa, la conjetura predice que una curva elíptica tiene un número infinito de puntos racionales (soluciones) si y solo si el «rango» de su grupo de puntos es positivo. Además, este rango sería igual al orden de la función L de la curva en s=1, que es un objeto asociado que se define usando teoría de números complejos y análisis complejo.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sigue siendo una conjetura abierta, y su resolución representaría un avance significativo en la comprensión de las propiedades de las curvas elípticas y, más generalmente, en la teoría de números.

2. Conjetura de Hodge

En matemáticas, especialmente en la topología algebraica y la geometría algebraica, la conjetura de Hodge es una afirmación sobre las clases de ciclos (subvariedades algebraicas) en una variedad algebraica proyectiva suave (un objeto geométrico definido por ecuaciones polinómicas) sobre el campo de los números complejos.

De manera más específica, la conjetura de Hodge predice que ciertas clases de cohomología (una forma de «medir» propiedades topológicas) en estas variedades, que son detectadas por su acción en la cohomología con coeficientes en números complejos, en realidad están representadas por clases de ciclos algebraicos (es decir, sumas de subvariedades algebraicas ponderadas).

El enunciado preciso de la conjetura es bastante técnico y requiere una comprensión profunda de varias ramas de las matemáticas, incluyendo la topología algebraica y la geometría algebraica.

A pesar de su formulación técnica, la resolución de la conjetura de Hodge tendría profundas implicaciones y proporcionaría una comprensión más profunda de las relaciones entre la topología y la geometría de las variedades algebraicas, que son objetos centrales de estudio en matemáticas modernas.

A día de hoy, la conjetura de Hodge sigue siendo un área de intensa investigación.

3. Conjetura de Poincaré (Resuelto)

4. Conjetura de Yang-Mills Existencia y Brecha de Masa

La teoría de Yang-Mills es una teoría fundamental en física, específicamente en el ámbito de la física de partículas. A continuación, describo los dos aspectos principales del problema:

1. Existencia
El primer componente del problema es probar matemáticamente que las ecuaciones de Yang-Mills admiten soluciones que satisfacen ciertas propiedades deseadas. Estas soluciones serían estados cuánticos de los campos de Yang-Mills que actúan de acuerdo a las leyes de la mecánica cuántica.

2. Brecha de Masa
El segundo componente del problema es demostrar que estas teorías, que son inicialmente formuladas sin una «masa de gap» (es decir, hay partículas de masa cero en la teoría), de hecho exhiben una brecha de masa en su espectro de energía; es decir, que las partículas elementales asociadas con los campos tienen una masa positiva mínima. Este fenómeno es fundamental en la física de partículas y está en el corazón del modelo estándar de la física de partículas.

La formalización precisa del problema matemático es bastante técnica. Básicamente, se pide demostrar que, bajo ciertas condiciones, existe una brecha de masa: hay un valor mínimo positivo para la energía de las oscilaciones cuánticas de los campos de Yang-Mills.

Este problema sigue sin resolverse hasta la fecha. Resolverlo representaría un avance significativo tanto en matemáticas como en física teórica, uniendo de manera más profunda estas dos disciplinas y proporcionando una comprensión más profunda de la naturaleza fundamental del universo.

5. Problema de Navier–Stokes Existencia y Suavidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de fluidos, tanto líquidos como gases. Estas ecuaciones son fundamentales en el campo de la mecánica de fluidos y tienen numerosas aplicaciones en física e ingeniería.

El problema de existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes es uno de los siete «Problemas del Milenio», para los cuales se ofrece un premio de un millón de dólares por una solución satisfactoria.

El problema puede ser enunciado de la siguiente manera:

  • Existencia: se refiere a demostrar que siempre existe una solución para las ecuaciones de Navier-Stokes, dadas ciertas condiciones iniciales y de contorno.
  • Suavidad: se refiere a demostrar que, si existen soluciones, estas son suaves (es decir, tienen derivadas continuas) en todo momento, o identificar las condiciones bajo las cuales pueden desarrollar singularidades (puntos donde la solución deja de ser suave).

Por lo tanto, el problema completo consiste en demostrar si, dadas unas condiciones iniciales y de contorno, las soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes existen y son suaves para todo tiempo, o encontrar un conjunto de condiciones para las cuales las soluciones desarrollen singularidades en un tiempo finito.

Este problema sigue siendo uno de los grandes enigmas en matemáticas y física, y hasta la última fecha aún no se ha resuelto.

6. Hipótesis de Riemann

La Hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más famosas y longevas en el campo de las matemáticas, particularmente en la teoría de números. Formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es uno de los siete «Problemas del Milenio», para los cuales el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un premio de un millón de dólares a cualquier persona que pueda resolverlo o proporcionar una prueba definitiva.

La hipótesis se refiere a los ceros de la función zeta de Riemann, que es una función compleja definida para números complejos. La función zeta de Riemann, denotada como ζ(s), está definida (inicialmente) para números complejos s con parte real mayor que 1 por la serie infinita:

ζ(s)=1(−s)+2(−s)+3(−s)+4(−s)+…

 

La Hipótesis de Riemann postula que todos los ceros no triviales de esta función tienen una parte real igual a 1/2. Es decir, si s=a+bi (donde a y i son números reales y i es la unidad imaginaria) es un cero no trivial de la función ζ(s), entonces a=1/2

Esta hipótesis tiene profundas implicaciones en la teoría de números, especialmente en la distribución de los números primos, ya que está íntimamente relacionada con la función de conteo de primos, π(x) que cuenta el número de números primos menores o iguales a x

La Hipótesis de Riemann aún no ha sido demostrada ni refutada. Resolver este problema sería un logro monumental en el campo de las matemáticas.

7. P versus NP

El problema P vs NP es uno de los problemas más importantes y sin resolver en el campo de la ciencia de la computación y la teoría de la complejidad computacional. Vamos a desglosar los conceptos clave para entenderlo mejor:

Clase P:

  • Descripción. La clase P es un conjunto de problemas que una computadora puede resolver rápidamente (en «tiempo polinomial») utilizando un algoritmo determinado.
  • Ejemplo: determinar si un número es primo o no.

Clase NP:

  • Descripción. La clase NP (No-determinístico Polinomial) engloba problemas para los cuales una solución, una vez adivinada, puede ser verificada rápidamente (también en «tiempo polinomial») por una computadora.
  • Ejemplo: en el caso del problema del viajante, si te doy una ruta específica, puedes verificar rápidamente si esa es una solución válida o no.

Ahora, el dilema P vs NP es básicamente una pregunta acerca de la relación entre P y NP:

  • P = NP: Si se demuestra que P = NP, significaría que cada problema para el que una solución puede ser verificada rápidamente (clase NP), también puede ser resuelto rápidamente (clase P).
  • P ≠ NP: Por otro lado, si se demostrara que P ≠ NP, significaría que existen problemas para los cuales verificar una solución es mucho más rápido que encontrar esa solución desde un principio.

Hasta la fecha no se ha demostrado ni que P sea igual a NP, ni que P sea diferente de NP. Resolver este problema proporcionaría una comprensión mucho más profunda de la naturaleza de los problemas matemáticos y computacionales, y tendría implicaciones profundas en varios campos, desde la criptografía hasta la inteligencia artificial, la optimización, entre otros.

¿Podría la Inteligencia Artificial resolver estos problemas matemáticos del milenio?

La IA puede agilizar y dinamizar el proceso de solución de los problemas comentados. Para ello, es necesario conocer varias áreas a tener en cuenta sobre esta nueva forma de inteligencia.

 

Esperamos que te haya resultado interesante este artículo. Clica en nuestros apuntes de Matemáticas para saber más.

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